可数个复平面挖掉一条射线, 然后逐个粘合构成一个螺旋状的曲面, 这是 $\sqrt{z}$ 的最大定义域.   这是 Riemann 的观点.

Exercise1:  证明复平面上无法定义 $\sqrt{z}$.

Exercise2:  若 $f(x,y)\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, 且 $f(0,0)=0$, 是否存在 $g,h\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, 使得

\[f(x,y)=x\cdot g(x,y)+y\cdot h(x,y)\]

Exercise3:  若 $f(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(z)$ 可写为 $f(z)=z\cdot g(z)$, 这里 $g(z)$ 也是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数.

References:

梅加强,  《黎曼曲面》

【南京大学】梅加强《黎曼曲面简介》_哔哩哔哩_bilibili

http://video.chaoxing.com/cxvideo/play/page?sid=108445&d=6502e6a82a3dc368c0b7fcb6fe0b633d&cid=123